3 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық

3.1. (3.29)-формула бойынша , егер болса, онда v жылдамдығы  скаляр өрісінің градиенті болады. Сонымен,  және (3.3) үзіліссіздік теңдеуі келесі түрде болады:  немесе .

3.2. (2.52) формула бойынша

(3.3) формулаға сәйкес .

3.3. Лагранждық формада дифференциальдауды орындап  және 5.11-есептің нәтижесін пайдаланайық . Онда .

3.4. (3.5) формулаға сәйкес сығылмайтын сұйықтық үшін . Біздің жағдайымызда

;

сонымен,  және сығылмайтын сұйықтықтың үзіліссіздік теңдеуі орындалады.

3.5. Бұл жағдайда . Бұны (3.3) теңдеуіне қойып интегралдасақ, онда , мұндағы С – интегралдау тұрақтысы.  болғанда  болғандықтан, бұл теңдік  түріне келеді. Әрі қарай  теңдеуін интегралдасақ ( бойынша қосындылау жүрмейді), онда  болады. Осыдан .

3.6. (1.15) және (2.8) формулалары бойынша

.

 теңдігін ашып жазсақ жоғарыдағы өрнекті аламыз:  болғанда,  болғанда ,  болғанда .

3.7. (3.16) теңдеу күштердің тепе-теңдік шартынан алынғандықтан, моментердің бар болуы оған әсер етпейді. Бірақ та (3.19) формулада қосымша қосылғыштар пайда болады:

.

Бұл теңдікті  теңдігіне келтіруге болады. V көлемі кез-келген болғандықтан, бұл жағдайда  теңдігі орындалады.

3.8. Аталған дифференциалдауды орындап, ұқсас мүшелерді біріктірсек, онда

.

(3.4) формулаға сәйкес сол жақтағы бірінші қосылғыш нөлге тең, ал екінші мүшесі -ға тең. Сонымен, , бұл (3.16)-мен бірдей.

3.9. (3.19) формуладағы -ның орнына -ны қойып, шыққан беттік интегралға (1.157) Гаусс-Остраградский теоремасын қолдансақ, онда:

.

3.2-есептің шешімін пайдалансақ және дифференциалдауды орындасақ, бұл теңдеу келесі түрге келеді:

.

(3.16) формуласы негізінде квадрат жақшадағы мүшелер қосындысы нөлге тең, сонымен қатар  және  болады. онда .

3.10. (3.19) теңдеудің сол жағында санақ басына қатысты барлық беттік және массалық күштердің толық моменті М_і тұр.  болғанда бұл теңдеудң келесі түрде түрлендіруге болады:

мұндағы  - инерция моменттерінің теңдеуі.

3.11. (3.23) формуладан

немесе символдық формада  екені шығады.

3.12. D_ij-дің әрбір элементін -дің сәйкес элементіне көбейтіп қоссақ, онда  болады.

3.13. Ал  болғандықтан,  (3.3) үзіліссіздік теңдеуінен  болатындығын аламыз. Онда  болғанда,  болады.

3.14. (3.32) формула бойынша

,

мұндағы  және  - сәйкесінше деформацияның жылдамдық тензорының бірінші және екінші инварианттары.

3.15. Бұл жағдайда  және 3.13-есептің нәтижесін ескерсек, (3.41) формула келесі теңдікті береді

.

3.16. (2.25) формула бойынша , бұл  матрицасының ізі және мұны  бас мәндері арқылы жазуға болады. (1.138) формуласы бойынша матрицаның ізі келесі түрде болады

Осыдан  болады.

3.17.  болғандықтан, ; сонымен қоса  болғандықтан . Тәуелсіз алты компоненті бар симметриялы екі  және  тензорларының ішкі көбейтіндісіне ұқсас,  тензорының әртүрлі 36 компоненті ғана болады.

Әдетте  компоненттерін келесі түрде орналастырады:

.

3.18. Координаттық бағыттарды әртүрлі 6 жолмен беруге болады (3.1-сурет). Изотропты болу үшін  және  болу керек. Бұл 36 компоненттің 26-сы ғана қалатының білдіреді. Егер орта изотропты болса, онда сәйкес координата осьтерін бейнелеулер мен бұрулардан кейін 26 компоненттің екеуі ғана қалады.

3.1 – сурет.

3.19.

3.20.  және  өрнектерін 3.19-есептегі  өрнегіне қойсақ, онда  . Бұдан көрініп тұрғандай, егер  болса, онда . Сондықтан, .

3.21. Тікелей дифференциалдауды орындасақ, онда . Бірақ  (5.15-есепті қараңыз), ал (3.3) үзіліссіздік теңдеуінен  екені шығады. Ақырында

.

3.22. Сығылмайтын сұйықтықтың үзіліссіздік теңдеуі (3.5)  түрінде болады. Бұл жағдайда  және . Екеуін қоссақ, онда .

3.23. Құйынсыз ағын үшін (2.29) формулаға сәйкес  болу керек. Яғни

3.24. Сығылмайтын сұйықтықтың үзіліссіздік теңдеуі  бұл жағдайда келесі теңдікті береді . Мұны х₂ бойынша интегралдасақ және -ге берілген шартты қойсақ, онда . Құйынсыз қозғалыс үшін  болу керек. Біздің есепте

.

Тоқ сызығының теңдеуі  түрінде қорытылып шығарылған болатын. Берілген өріс үшін  болады. Бұл теңдеуді интегралдасақ  түріндегі шеңбер теңдеуін аламыз.

3.25. (3.16)  қозғалыс теңдеуі бұл жағдайда келесі түрде болады: . Анықтама бойынша , онда  және  . Сондықтан

.

Бұл теңдеуді символдық формада келесі түрде жазамыз:

.

3.26. (3.23) формулаға сәйкес . Сыртқы беттік күштер жұмысы (бірлік уақыттағы)  немесе  интегралымен өрнектеледі. Бұл интегралға Гаусс-Остраградский теоремасын қолданып және (3.16) қозғалыс теңдеуін пайдалансақ, онда

.

Осыдан

.

3.27. Сығылмайтын сұйықтық үшін , онда біздің жағдайымызда  Сонымен қоса,  және  сондықтан

Орта сығылмайтын, ал қозғалыс құйынсыз болғандықтан  және  теңдігі орындалады. Сонымен қоса,

.

Бұл өрнек,  болғанда – ге келтіріледі. Онда .

3.28. Берілген кернеу заңы негізінде (3.41) энергия теңдеуі келесі түрде болады: . 8.3-есептің нәтижесін және -тың анықтамасын пайдалансақ, онда  Бірдей мүшелерді қысқартсақ, онда .

3.29. Сығылмайтын орта үшін .  болғанда 8.15-есептің қозғалыс теңдеуі  түрінде болады.  болғанда,  операторын бұл теңдеуге векторлық түрде көбейтсек, онда . Бірақ,  болғандықтан, (3.29) теңдікті ескерсек, онда  немесе символдық формада